外观
Lesson 21 路径积分
约 2797 字大约 9 分钟
2026-05-12
上节课我们推导了 Hawking temperature,TH=8πGM1;还有 BH 熵 SBH=A/4. 下一步我们要搞清楚这两个量的解释.
黑洞有一个视界,但是外面的观测者能够看到黑洞内部的熵,这是因为量子场是无视视界的,在任何一个点都可以被定义. 这个量子场会随着时间演化,因此其 Lagrangian 中一定有这些 terms:
L=L(ϕ˙(x,t),ϕ(x,t),∇ϕ(x,t))
最后的空间导数是因为类时和类空在视界上发生变化,有时间导数就一定有空间导数.
Lagrangian 中的空间导数应该表现为 [∇ϕ(x,t)]2 的形式 (因为是标量),也就是
(∂xϕ)2=Δx→0lim[Δxϕ(x+Δx)−ϕ(x)]2∼ϕ(x+Δx)ϕ(x)
有交叉项 —— 也就是说任意两个点之间就存在量子的关联. 但是外面还是看不到里面,所以就只能预测内部的体系具有所有的可能状态,这种信息的不对称产生了熵.
具体来说,在黑洞视界附近建立一个坐标系,我们称为 Rindler space. 平常的 Schwarzschild 度规是
ds2=−(1−r2GM)dt2+(1−r2GM)−1dr2+r2dΩ2
Rindler space 是考虑算出距离视界 r=2GM 的距离作为新的坐标,
ρ=∫2GMrgrr(r′)dr′=r(r−2GM)+2GMsinh−12GMr−1
在视界边上,有 ρ≈22GM(r−2GM). 用这个量重写视界附近的度规,
ds2=−ρ2(4GMdt)2+dρ2+(2GM)2dΩ2
定义下述参变量
x=2GMθcosϕ,y=2GMθsinϕ,ω=4GMt
度规进一步写为
ds2=−ρ2dω2+dρ2+dx2+dy2
从解释的角度,ω 实际上是无穷远观察者所测量的时间,而 ρ 是距离. 这个度规已经很接近 Minkowski 时空的形式,但是前两项本质上还是和平直时空不同. 因此我们需要再做一个变换,
T=ρsinhω,Z=ρcoshω
度规变为 ds2=−dT2+dZ2+dx2+dy2. 如果有一个观测者以 T 作为自己的固有时,那么它可以看到整个 Schwarzschild 时空. 但是和之前以 ω 作为固有时的观测者相比,后者只能看到视界外的时空,因此后面这个变换相当于拓宽了观测者的视野.
之前说过,一个自由下落的无穷小观测者,应该在进入黑洞过程中看不到任何奇异的现象;这样的观测者看到的真空才是真的真空. 结合上面的推导,我们可以说这个观测者应该就是用 T,Z 定义的坐标,也就是以 T 作为固有时的观测者.
先不说关联,说一个相近的概念「涨落」. 对于一个量子态 ∣φ⟩,在算符 O^ 上的涨落应该这样计算:
⟨φ∣O^2∣φ⟩=⟨φ∣O^∣φ⟩2
更进一步还可以写 ⟨φ∣O^1O^∣2φ⟩=⟨φ∣O^1∣φ⟩⟨φ∣O^2∣φ⟩. 现在说要计算一个真空在量子场 ϕ(t,x),ϕ(t,y) 的关联,就是算 ∣0⟩ 态在它们联合下的涨落,
⟨0∣ϕ(t,x)ϕ(t,y)∣0⟩=⟨0∣ϕ(t,x)∣0⟩⟨0∣ϕ(t,y)∣0⟩
且量子场写成
ϕ(t,x)=∫(2π)3/2(2ωk)1/2d3k(ake−iωt+ik⋅x+ak†eiωt−ik⋅x)
直接代入,不为零的情况仅有 ϕ(t,x) 和 ϕ(t,y) 分别取 a^ 和 a^†. 因此关联 ⟨0∣ϕ(t,x)ϕ(t,y)∣0⟩ 为
=∫(2π)3/2(2ωk)1/2d3k∫(2π)3/2(2ωk′)1/2d3k′e−iωt+ik⋅xeiωt−ik′⋅yδ3(k−k′)=∫(2π)3k2+m2d3keik∣x−y∣cosθ=∫−∞∞8π2k2+m2kdk(−i)eik∣x−y∣
最后这个积分利用了一下被积函数是偶函数的性质. 用复变函数积分,其极点在 ±im 处,实轴上没有极点. 积分曲线是从 ∞ 沿实轴到 −∞,然后在上半平面绕大圆弧,但是绕开 +im 点. 得到
=∫m∞4π2rdρ(ρ2−m2)1/2ρe−ρrr=∣x−y∣4π2r21(mr)Bessel K(1,mr)∼rme−mr
(修正 Bessel 函数). 另外,Lagrangian 表示为 L=21ϕ˙2−21(∇ϕ)2−21m2ϕ2.
接下来说这个关联和熵的关系. 首先我们知道,用密度矩阵来描述纯态和混态,密度矩阵定义为 ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣,比较 trivial 的特性是,对于一个纯态,⟨ψ∣ψ⟩=1,因此这时候
Tr(ρ^)=1,Tr(ρ^2)=1
以纯态
∣φ⟩=21∣↑⟩+21∣↓⟩
为例来验证密度矩阵的这一性质,
∣φ⟩⟨φ∣=(21∣↑⟩+21∣↓⟩)(21⟨↑∣+21⟨↓∣)=21∣↑⟩⟨↑∣+21∣↓⟩⟨↑∣+21∣↑⟩⟨↓∣+21∣↓⟩⟨↓∣
也就是说,
ρφ=(1/21/21/21/2)⟹Tr(ρφ)=1,Tr(ρφ2)=1
什么是混态?看下面这种密度矩阵:
ρ2=21∣↑⟩⟨↑∣+21∣↓⟩⟨↓∣
它的 trace 是 1,但是其平方的 trace 是 1/2.
我们要研究的问题变成了,用 T 作为固有时的观测者看到的纯态,为什么在用 t (或者 ω) 作为固有时的观测者眼中看到的是一个混态?
不考虑研究的是基本粒子的情况,仅仅思考一个双自旋叠加 (↑+↑). 我们都知道 2×2=1+3,这里的 1 是单态 2∣↑↓⟩−∣↓↑⟩,3 是三重态
∣↑↑⟩,∣↓↓⟩,2∣↑↓⟩+∣↓↑⟩
前两个三重态的密度矩阵仍然是纯态,但是第三个为
ρ=000001/21/2001/21/200000
这个态是混态的原因是,自旋之间产生了关联. 作为验证,可以计算 ⟨s1s2⟩=⟨s1⟩⟨s2⟩,发现为 −1/2=0.
上面仍然是一个简单的例子. 回到黑洞的话题,考虑一个热分布的密度矩阵. 回想上面我们做了什么:首先知道了态具体是什么,再算出密度矩阵. 在黑洞这里我们不能简单地用 ∣0⟩,因为现在什么都不知道所以没法积分. 所以考虑找一个和时空相关联的「基态」,而计算基态的方法就是 路径积分.
鉴于大家都没学过路径积分,现在我们作为前置准备,讲解一下路径积分的相关知识. 对于一个时间演化,
i∂t∂ψ(t)=Hψ(t)
可以写成 ψ(t)=e−iHtψ(0). 这说起来很简单,但是我们并不知道该怎么算. 现在的问题就是,从 qa 态 (t=0) 演化到 qb 态 (t=T) 是怎么实现的,也就是考虑
U(qa,qb;T)=⟨qb∣e−iHT∣qa⟩
Feynman 说,把时间切割成很小的块,我们可以实现这个计算,也就是
e−iHT=e−iHεe−iHε⋯e−iHε
认为 k 是切的第 k 份,对于每一个自由度 i 都插入一个
1=(i∏∫dqki)∣qki⟩⟨qki∣
实际上就是要计算每一份小的单元
⟨qk+1∣e−iHε∣qk⟩≈⟨qk+1∣(1−iεH)∣qk⟩
这个地方我们已经把 i 给省略掉了,因为每个自由度都是一样的. 现在碰到的问题是,H=H(p,q),我们没有办法做 p 的计算. 因此考虑
⟨qk+1∣f(q)∣qk⟩=f(qk)δ(qk−qk+1)=f(2qk+qk+1)∫2πdpkeipk(qk−qk+1)
最后一个等号这里,因为 qk=qk+1 (δ function 的要求),所以写得对称了一点;同时利用 δ 的 Fourier 表示把 pk 给引进来. 所以
⟨qk+1∣f(q)∣qk⟩=∫2πdpkf(pk)eipk(qk−qk+1)
把 f(q) 代换成 H(p,q),有
⟨qk+1∣H(p,q)∣qk⟩=∫2πdpk⋅H(pk,2qk+qk+1)eipk(qk−qk+1)
甚至不用做上面 e−iεH≈1−iεH 的近似了,可以直接在指数上计算,
⟨qk+1∣e−iεH∣qk⟩=∫2πdpk⋅exp[−iεH(pk,2qk+qk+1)+ipk(qk−qk+1)]
演化 (也就是路径积分) 表示为
U(q0=qa,qN=qb;T)=(b∏∫dqk∫2πdpk)exp[ik∑εpkεqk−qk+1−εH(pk,2qk+qk+1)]=∫dq(t)dp(t)⋅exp[i∫0Tdt[p(t)q˙(t)−H(p(t),q(t))]]
这是 Langrangian 形式的路径积分.
更加细节地,
U(qa,qb;T)=C(ε)1k∏∫C(k)dqk⋅exp[ik∑(ε⋅2ε2m(qk+1−qk)2−εV(2qk+qk+1))]=∫Dq⋅exp{i∫dt[2mq˙2(t)−V(q(t))]}
其中指数上的那个东西正是作用量 S(t),是我们更常见到的 Langrangian 形式的路径积分.
但是原则上,路径积分包含了所有可能的能量本征态,所以并不能直接得到基态波函数. 但是基态的特点就是能量最低,因此如果我们把时间变成虚的,那么无穷长时间的演化之后,最后留下来的就只有基态 (e−EnT). 所以下节课我们讲通过虚时间路径积分得到基态波函数.
提示
我不是来上广义相对论的吗?你们要干什么!
更新日志
2026/5/12 07:24
查看所有更新日志
3e64c-feat(note): update于
