上节课我们把学到的平衡态统计用到了二态系统里面. 后面这门课所用到的语言可能会更加变成大家不太熟悉的一种，不管是物理系同学还是生物方向的同学，这是因为学术界正在向着复苏上世纪六十年代的一些表述的方向发展.

二态系统

接着来说一些二态系统没讲完的内容.

Hopfield 提出的动态校验：在 DNA 的复制中加入一步不可逆反应，它连接的两个反应都是平衡的，这两个过程都因为自由能的差异会有一个错误概率. 但是因为这两个反应之间不能平衡，所以这两个错误概率是相乘的关系，错误概率以平方的形式被降低了.

如果这个不可逆反应换成可逆反应，那么整个过程都是平衡的，就没有这个级联的效果降低错误概率.

当然我们还并没有在微观上验证过这种机制的存在性，但是这个理论在数值上是可以和实验对得上的.

下一个例子是 hsp70 蛋白 (Heat Shock Protein)，它的作用是找到错误折叠的蛋白，然后将它们剪切为正确的蛋白. 根据平衡态的观点，我们只要把这个蛋白和它的底物的亲和力做得很高就行了. 但是问题在于：亲和力太高我们就无法进行下一步反应了. 所以我们想要「控制磁铁的磁性」.

hsp70 有四个可能态：$H_{\text{ADP}}$、$S\cdot H_{\text{ADP}}$、$H_{\text{ATP}}$、$S\cdot H_{\text{ATP}}$. 每绕着这个环路走一圈，就水解了一个 ATP 分子. 但是因为溶液中的 ATP 远远多于 ADP，所以这个反应并不是平衡的，而是会沿着某个方向一直进行.

通过不可逆的 $S\cdot H_{\text{ATP}}\longrightarrow S\cdot H_{\text{ADP}}$，结合和解离的两个过程被分开来，通过消耗 ATP 让整个反应获得了优势：反应在结合 $S$ 和解离 $S$ 的两个过程中的可能性都更高，整个反应都由 ATP 所驱动，$H$ 和 $S$ 之间的亲和力是可控的.

以上就是二态系统的全部内容.

高分子链

我们接下来要研究的是被称为高分子的那些物质，它们的分子具有很多很多的小单元，但是和固体不同，高分子不存在平移对称性，而是有可能出现各种形变.

我们首先提到的例子是细胞骨架和分子马达，细胞骨架由比较刚性的蛋白质结构形成，分子马达在其上运动，就像「高速公路」一样. 另外还有微管结构、真核细胞的纤毛等等.

从物理的角度来看，它们都有同样的特征：重复的单元、可变的结构.

• 极端地说，如果熵是主导，那么整个排布应当是一个随机行走；
• 另一个极端是能量主导，排布只能落在能量最低的点，这对应着结构固定的蛋白质；
• 当然还存在中间态.

考虑长链，每一个链节为矢量 $\vec{l}_i$，最终的终点为 $\vec{r}$，则

$$\vec{r}\cdot\vec{r}=\left(\sum_{i=1}^\infty\vec{l}_i\right)^2$$

如果链节之间完全无关，则

$$\braket{R}=0\,,\quad\braket{R^2}=Na^2$$

($a$ 是每个链节 $\vec{l}$ 的长度 $|\vec{l}|$)

提示

稍微想一下，会发现这就是正态分布；另外，这也是一个 Brown 运动，和 Einstein - Smoluchowski 方程给出的是一致的.

衰减的幂律：$\sqrt{\braket{R^2}}\sim N^{-\alpha}$

• $\alpha=1/2$ 时这是完全无关的分布，根据大数定理来演化；
• $\alpha=1/3$ 是球状的；
• ……

但是对于 DNA 来说，碱基和碱基之间有强烈的关联，所以它们不是独立分布；但是前面 500 个和后面 500 个的关联很弱，也就是说是否独立分布和问题的 scale 有关.

在受力下，长链的劲度可以通过能量来计算，得到

$$k=\frac{3k_BT}{Na^2}$$

长度变为

$$\braket{L}=Na\tanh\frac{fa}{k_BT}$$

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2025/10/21 13:20

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• a5c3f-feat(note): add bp note于 2025/10/21

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