Stokes 公式

/Theorem/

设 $S$ 为定向曲面，$\partial S$ 赋予了边界正定向 (右手螺旋法则)，则：

$$\int_{\partial S}P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z=\iint_S\det\begin{pmatrix} \text{d}y\text{d}z&\text{d}z\text{d}x&\text{d}x\text{d}y\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{pmatrix}$$

这里要求 $P,Q,R\in C^1(S)$.

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special case：$S$ 为定向封闭曲面，$\partial S=\varnothing$. 则积分值为零.

/Example/

$$L=\left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2+z^2=1\\\\ x+y+z=1 \end{array}\right.$$

从 $(0,0,+\infty)$ 方向来看，曲线逆时针旋转. 求积分：

$$I=\int_Lxy\text{d}x+yz\text{d}y+zx\text{d}z$$

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提示

我发现我 22 年讲微积分的时候手写的笔记，到现在来看依然很好，大家可以看看. —— 艾神

我们可以用 Stokes 公式来简化这个问题 (虽然我们之前强行求解过). 曲面为

$$S=\{x+y+z=1\,;\,x^2+y^2+z^2\leq1\}$$

边界 $\partial S=L$，$L$ 的定向 $\to$ $\partial S$ 作为 $S$ 边界的正定向.

只需要取 $S$ 的定向为 $\hat{n}=(1,1,1)/\sqrt3$，可以使用 Stokes 公式：

$$\begin{aligned} I&=\int_L=\int_{\partial S}xy\text{d}x+yz\text{d}y+zx\text{d}x\\\\ &=\iint_S\det\begin{pmatrix} \text{d}y\text{d}z&\text{d}z\text{d}x&\text{d}x\text{d}y\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ xy&yz&zx \end{pmatrix}\\\\ &=\iint_S(-y\text{d}y\text{d}z-z\text{d}z\text{d}x-x\text{d}x\text{d}y)\\\\ &=\iint_S(-y,-z,-x)\cdot\text{d}\vec{S}\\\\ &=\iint_S\frac{-(x+y+z)}{\sqrt{3}}\text{d}S=\iint_S\frac{-1}{\sqrt3}\text{d}S\\\\ &=-\frac{1}{\sqrt3}\cdot\pi r^2=-\frac{2\sqrt3}{9}\pi \end{aligned}$$

Stokes 定理

提示

在数学史上很多成就都很重要，但是 Stokes 定理有被评选为最重要的定理的潜质. —— 艾神

(1) 微分形式：$\R^n$ 中坐标 $(x_1,\cdots,x_n)$，引入 $n$ 个符号 $\text{d}x_1,\cdots,\text{d}x_n$，它们之间的 wedge (外积) 乘法：

$$\text{d}x_i\wedge\text{d}x_j$$

简写为 $\text{d}x_i\text{d}x_j$.

给定 wedge 是反交换的，$\text{d}x_i\text{d}x_j=-\text{d}x_j\text{d}x_i$.

/Definition/ (微分形式)

$\R^n$ 上的一个 $k$ - 形式，指的是

$$\omega=\sum_{i_1\cdots i_k}f(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})\text{d}x_{i_1}\cdots\text{d}x_{i_k}$$

一个 $k$ - 形式有 $C_n^k$ 个系数，$\omega$ 是 $C^m$ 光滑的 $\Longleftrightarrow$ 所有系数 $f_{i_1,\cdots,i_k}\in C^m$.

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$\R^3$ 中：

• $0$ - 形式 $\Longleftrightarrow$ $f\in C^m(\R^3)$；
• $1$ - 形式 $\Longleftrightarrow$ $f_1\text{d}x_1+f_2\text{d}x_2+f_3\text{d}x_3$；
• $2$ - 形式 $\Longleftrightarrow$ $f_1\text{d}x_2\text{d}x_3+\text{etc.}$；
• $3$ - 形式 $\Longleftrightarrow$ $g\text{d}x_1\text{d}x_2\text{d}x_3+\text{etc.}$.
• $\cdots$

我们做第二型曲线积分的时候，被积分的内容就是一个 $1$ - 形式，曲面积分则是 $2$ - 形式.

还可以定义一个 $\Omega^k(\R^n)=\{\R^n$ 上所有 $k$ - 形式$\}$.

(2) 外微分算子：$\text{d}:\Omega^k(\R^n)\to\Omega^{k+1}(\R^n)$.

一个简单的例子是

$$\Omega^0(\R^n)\overset{\text{d}}{\longrightarrow}\Omega^1(\R^n)\\ f\longrightarrow\text{d}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\text{d}x_i$$

/Definition/

对于 $\text{d}:\Omega^k(\R^n)\to\Omega^{k+1}(\R^n)$，定义为

$$\text{d}(f_{i_1\cdots i_k}\text{d}x_{i_1}\cdots\text{d}x_{i_k})=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_{i_1\cdots i_k}}{\partial x_j}\text{d}x_j\text{d}x_{i_1}\cdots\text{d}x_{i_k}$$

是线性的.

/Example/

$\R^3$ 中，一个 $1$ - 形式 $P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z$ 的外微分是

$$P_y\text{d}y\text{d}x+P_z\text{d}z\text{d}x+Q_x\text{d}x\text{d}y+Q_z\text{d}z\text{d}y+R_x\text{d}x\text{d}z+R_y\text{d}y\text{d}z$$

类比，$2$ - 形式 $P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$ 的外微分是

$$P_x\text{d}x\text{d}y\text{d}z+Q_y\text{d}y\text{d}z\text{d}x+R_z\text{d}z\text{d}x\text{d}y$$

(3) pull-back (拉回)：

$$\underset{(u_1,\cdots,u_k)}{\R^k}\overset{\Phi}{\longrightarrow}\underset{(x_1,\cdots,x_n)}{\R^n}$$

这里的 $\Phi$ 作为变换的映射，其 “拉回” 可以定义为 $\Phi^*:\Omega^m(\R^n)\to\Omega^m(\R^k)$. 也就是

$$\Phi^*(\text{d}x_i)=\text{d}\varphi_i$$

$$\Phi^*(f\text{d}x_{i_1}\cdots\text{d}x_{i_k})=(f\circ\Phi)\text{d}\varphi_{i_1}\cdots\text{d}\varphi_{i_k}$$

再线性扩充.

(4) $k$ - 形式可在 $k$ 为=维定向开流形上积分.

对于 $\forall\omega\in\Omega^k(\R^n)$，$\omega$ 可以在 $M$ 上积分. 定义如下：

/Definition/

(1) 第一步，为 $M$ 选择一个参数化，与 $M$ 定向相容，$\Phi:D\to M$，$D\subseteq\R^k$ (坐标 $u_i$).

(2) 用 $\Phi$ 把 $\omega$ 拉回到 $D$ 上：

$$\Phi^*\omega=g(u_1,\cdots,u_k)\text{d}u_1\cdots\text{d}u_k$$

$k$ - 形式在拉回后恰好用光所有的指标，用到所有的 $\text{d}u_1\sim\text{d}u_k$.

(3) 直接定义 $\omega$ 在参数空间的积分：

$$\int_M\omega=\underset{k}{\underbrace{\int\cdots\int_D}}g(u_1,\cdots,u_k)\text{d}u_1\cdots\text{d}u_k$$

($M$ 上 $k$ - 形式 $\omega$ 的积分)

/Remark/

之前定义第二型曲线和曲面积分的时候都是这样的定义方法，我们的课程是一脉相承的.

到此为止我们可以叙述 Stokes 定理：

/Theorem/ (Stokes)

设 $M$ 是紧致的、定向的、带边的 $k$ 维流形. 则对于任何 $(k-1)$ - 形式 $\omega$，有

$$\int_{\partial M}\omega=\int_M\text{d}\omega$$

这个公式非常优美和对偶. 它统一了之前的 Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公式，并推广到任意的维度.

• $k=1$ 时，这就是 Newton - Leibniz 公式：

  $$F(b)-F(a)=\int_{\partial[a,b]}F=\int_{[a,b]}\text{d}F=\int_a^bF'(x)\text{d}x$$

• $k=2$ 时，得到 Green 公式和 Stokes 公式.

• $k=3$ 时，得到 Gauss 公式.

• $k=n$ 时，$M\subseteq\R^n$，$M$ 是 $n$ 维带边的流形，得到

  $$\int_{\partial M}f\text{d}x_2\cdots\text{d}x_n=\int_M\frac{\partial f}{\partial x_1}\text{d}x_1\text{d}x_2\cdots\text{d}x_n$$

应用：多元分部积分法. 令 $f=gh$，

$$\int_{\partial M}gh\text{d}x_2\cdots\text{d}x_n=\int_M\frac{\partial}{\partial x_1}(gh)\text{d}x_1\cdots\text{d}x_n$$

经常用于 $g$ (或 $h$) 在 $\partial M$ 上恒为零的情况，得到

$$0=\int_M\frac{\partial g}{\partial x_1}h+\int_Mg\frac{\partial h}{\partial x_1}$$

以上就是 Stokes 定理的内容.

场论初步

场：($V\subseteq\R^3$，$V$ 为开集)

• 标量场 $\longleftrightarrow$ $f:V\to\R$ ($C^\infty$ 映射)
• 矢量场 $\longleftrightarrow$ $\vec{F}:V\to\R^3$ ($C^\infty$ 的矢量值函数)

(1) 标量场：标量场对应一个梯度场

$$\nabla f=\operatorname{grad}f=\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right)$$

1. 梯度与 $f$ 的等高面垂直，$\text{T}_{(x,y,z)}M_e=(\text{span}\{\nabla f\})^\perp$.

2. 有势场作的功等于势能的改变，与路径无关.

   $$\int_{\vec{L}}\nabla\varphi\cdot\text{d}\vec{r}=\Delta\varphi$$

   这其实就是 Newton - Leibniz 公式，也就是一维情况下的 Stokes 定理.

(2) 矢量场：

Gauss 公式：

$$\iint_{\partial\Omega}(P,Q,R)\cdot\hat{n}\text{d}S=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text{d}V$$

/Definition/ (散度)

$\vec{F}=(P,Q,R)$ 的散度 (divergence)：

$$\operatorname{div}\vec{F}=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)=\nabla\cdot\vec{F}$$

---

有了这一定义，Gauss 公式可以写成：

$$\iint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}=\iiint_\Omega\text{div}\vec{F}\cdot\text{d}\mathcal{Vol}$$

物理含义？

设想 $\vec{F}$ 是水流的流速场，则

$$\frac{1}{\mathcal{Vol}(\Omega_r)}\iint_{S_r(\vec{r})}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}=\frac{1}{\mathcal{Vol}(\Omega_r)}\iiint_{\Omega_r}\text{div}\vec{F}\cdot\text{d}\mathcal{Vol}$$

由积分中值，上式可以等于某一处的 $\text{div}$. 如果取体积 $\to0$ 的极限，则可以看出 $\text{div}\vec{F}$ 描述了每一点处单位体积流体对闭合小面积产生的流量.

若 $\text{div}\vec{F}>0$，则该点为 “源 (source)”；若 $\text{div}\vec{F}<0$，则该点为 “汇 (sink)”.

Stokes 公式：

/Definition/ (旋度)

$\vec{F}=(P,Q,R)$ 的旋度：

$$\text{curl}\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\nabla\times\vec{F}$$

---

Stokes 公式可以改写为：

$$\int_{\partial S}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{r}=\iint_S\text{curl}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{S}=\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot\text{d}\vec{S}$$

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2025/10/9 02:50

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